Black Scholes Estoque Opções Modelo

ESOs: Usando o modelo de Black-Scholes As empresas precisam usar um modelo de preço de opções para gastar o valor justo de suas opções de ações de empregados (ESOs). Aqui mostramos como as empresas produzem essas estimativas de acordo com as regras em vigor em abril de 2004. Uma Opção Tem um Valor Mínimo Quando concedido, um ESO típico tem valor de tempo, mas nenhum valor intrínseco. Mas a opção vale mais do que nada. O valor mínimo é o preço mínimo que alguém estaria disposto a pagar pela opção. É o valor defendido por duas propostas de legislação (o Enzi-Reid e Baker-Eshoo contas do Congresso). É também o valor que as empresas privadas podem usar para avaliar suas doações. Se você usar zero como a entrada de volatilidade no modelo Black-Scholes, você obtém o valor mínimo. As empresas privadas podem usar o valor mínimo porque não possuem um histórico de negociação, o que torna difícil medir a volatilidade. Legisladores como o valor mínimo, porque remove a volatilidade - uma fonte de grande controvérsia - a partir da equação. A comunidade de alta tecnologia, em particular, tenta minar o Black-Scholes argumentando que a volatilidade não é confiável. Infelizmente, remover a volatilidade cria comparações injustas porque elimina todo o risco. Por exemplo, uma opção de 50 no estoque do Wal-Mart tem o mesmo valor mínimo que uma opção de 50 em um estoque de alta tecnologia. Valor mínimo pressupõe que o estoque deve crescer pelo menos a taxa sem risco (por exemplo, o rendimento do Tesouro de cinco ou 10 anos). Nós ilustramos a idéia abaixo, examinando uma opção de 30 com um prazo de 10 anos e uma taxa de 5 sem risco (e sem dividendos): Você pode ver que o modelo de valor mínimo faz três coisas: (1) cresce o estoque em A taxa livre de risco para o período integral, (2) assume um exercício e (3) descontos o ganho futuro para o valor presente com a mesma taxa livre de risco. Calculando o Valor Mínimo Se esperamos que uma ação atinja pelo menos um retorno sem risco sob o método de valor mínimo, os dividendos reduzem o valor da opção (como o detentor de opções renuncia dividendos). Dito de outra forma, se assumirmos uma taxa de risco-menos para o retorno total, mas alguns dos vazamentos de retorno para dividendos, a previsão de apreciação do preço será menor. O modelo reflete essa menor valorização, reduzindo o preço das ações. Nas duas exposições abaixo, derivamos a fórmula de valor mínimo. O primeiro mostra como chegamos a um valor mínimo para uma ação que não paga dividendos, o segundo substitui um preço de ação reduzido na mesma equação para refletir o efeito redutor dos dividendos. Aqui está a fórmula de valor mínimo para uma ação de pagamento de dividendos: o preço das ações e a constante de Eulers (2.718) d rendimento de dividendos t opção termo k exercício (strike) preço r taxa sem risco Não se preocupe com a constante e (2.718) é Apenas uma maneira de compostos e descontos continuamente em vez de composição em intervalos anuais. Black-Scholes Volatilidade do Valor Mínimo Podemos entender que o Black-Scholes é igual ao valor mínimo das opções mais o valor adicional para a volatilidade das opções: quanto maior a volatilidade, maior o valor adicional. Graficamente, podemos ver o valor mínimo como uma função ascendente do termo da opção. A volatilidade é um plus-up na linha de valor mínimo. Aqueles que são matematicamente inclinados podem preferir entender os Black-Scholes como tomando a fórmula de valor mínimo que já examinamos e adicionando dois fatores de volatilidade (N1 e N2). Juntos, estes aumentam o valor dependendo do grau de volatilidade. Black-Scholes deve ser ajustado para ESO Black-Scholes estima o valor justo de uma opção. É um modelo teórico que faz várias suposições, incluindo a plena capacidade de negociação da opção (ou seja, até que ponto a opção pode ser exercida ou vendida aos detentores de opções) e uma volatilidade constante ao longo da vida das opções. Se as suposições estiverem corretas, o modelo é uma prova matemática e seu preço de saída deve estar correto. Mas estritamente falando, as suposições são provavelmente não corretas. Por exemplo, exige que os preços das ações se movam em um caminho chamado de movimento browniano - uma fascinante caminhada aleatória que é realmente observada em partículas microscópicas. Muitos estudos discutem que os estoques movem-se somente esta maneira. Outros acham que o movimento browniano se aproxima o suficiente e consideram os Black-Scholes uma estimativa imprecisa, mas utilizável. Para opções negociadas a curto prazo, o Black-Scholes tem sido extremamente bem sucedido em muitos testes empíricos que comparam sua produção de preço aos preços de mercado observados. Existem três diferenças fundamentais entre os OEN e as opções negociadas a curto prazo (que estão resumidas na tabela abaixo). Tecnicamente, cada uma dessas diferenças viola uma suposição de Black-Scholes - fato contemplado pelas regras contábeis da FAS 123. Esses fatores incluíam dois ajustes ou correções para a produção natural dos modelos, mas a terceira diferença - que a volatilidade não pode manter constante ao longo do tempo anormalmente longo Vida de um ESO - não foi abordada. Aqui estão as três diferenças e as correções de avaliação propostas propostas no FAS 123 que ainda estão em vigor a partir de março de 2004. A correção mais significativa sob as regras atuais é que as empresas podem usar a vida esperada no modelo em vez do termo real. É típico para uma empresa usar uma vida esperada de quatro a seis anos para opções de valor com 10 anos termos. Esta é uma correção desconfortável - um band-aid, realmente - desde Black-Scholes exige o termo real. Mas o FASB estava buscando uma forma quase objetiva de reduzir o valor do ESOs, uma vez que não é negociado (ou seja, para descontar o valor do ESOs por sua falta de liquidez). Conclusão - Efeitos Práticos O Black-Scholes é sensível a várias variáveis, mas se assumirmos uma opção de 10 anos sobre um estoque de dividendos e uma taxa de 5, o valor mínimo (não pressupõe volatilidade) nos dá 30 Do preço das ações. Se adicionarmos a volatilidade esperada de, digamos, 50, o valor da opção praticamente dobra para quase 60 do preço das ações. Assim, para esta opção particular, Black-Scholes dá-nos 60 do preço das ações. Mas quando aplicada a um ESO, uma empresa pode reduzir o prazo real de 10 anos para uma vida mais curta esperada. Para o exemplo acima, reduzir o prazo de 10 anos para uma vida esperada de cinco anos traz o valor para cerca de 45 do valor nominal (e uma redução de pelo menos 10-20 é típico quando se reduz o prazo para a vida esperada). Finalmente, a empresa começa a tomar uma redução de corte de cabelo na antecipação de confisco devido ao volume de negócios do empregado. A este respeito, um corte de cabelo adicional de 5-15 seria comum. Assim, no nosso exemplo, o 45 seria mais reduzido a uma taxa de despesa de cerca de 30-40 do preço das ações. Depois de adicionar a volatilidade e, em seguida, subtrair para um prazo de vida útil esperada e confiscos esperados, estamos quase de volta ao valor mínimo ESOs: Usando o Binomial ModelOptions Preços: Modelo Black-Scholes O modelo Black-Scholes para calcular o prêmio de uma opção foi Introduzido em 1973 em um papel intitulado, o preço de opções e as responsabilidades incorporadas publicadas no jornal da economia política. A fórmula, desenvolvida por três economistas Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton é talvez o modelo de preços de opções mais conhecido do mundo. Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberem o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um novo método para determinar o valor dos derivados (o Prêmio Nobel não é dado póstumo no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel dos Negros no Negro - Scholes modelo). O modelo Black-Scholes é usado para calcular o preço teórico das opções de compra e venda européias, ignorando quaisquer dividendos pagos durante a vida útil das opções. Embora o modelo original de Black-Scholes não tenha levado em consideração os efeitos dos dividendos pagos durante a vida da opção, o modelo pode ser adaptado para contabilizar dividendos, determinando o valor ex-dividendo da ação subjacente. O modelo faz certas suposições, incluindo: As opções são europeias e só podem ser exercidas no vencimento. Não há dividendos pagos durante a vida da opção. Mercados eficientes (ou seja, os movimentos do mercado não podem ser previstos) Sem comissões A taxa livre de risco ea volatilidade de O subjacente é conhecido e constante Segue uma distribuição lognormal que é, os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos. A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis: Preço atual subjacente Opções Preço de exercício Tempo até a expiração, expressa em percentual de um ano Volatilidade implícita Taxas de juros livres de risco Figura 4: A fórmula de precificação Black-Scholes para call Opções. O modelo é essencialmente dividido em duas partes: a primeira parte, SN (d1). Multiplica o preço pela variação do prémio de compra em relação a uma alteração no preço subjacente. Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente diretamente. A segunda parte, N (d2) Ke (-rt). Fornece o valor atual do pagamento do preço de exercício no vencimento (lembre-se, o modelo Black-Scholes aplica-se a opções européias que são exercíveis somente no dia de vencimento). O valor da opção é calculado tomando a diferença entre as duas partes, como mostrado na equação. A matemática envolvida na fórmula é complicada e pode ser intimidante. Felizmente, no entanto, os comerciantes e investidores não precisam saber ou mesmo entender a matemática para aplicar Black-Scholes modelagem em suas próprias estratégias. Como mencionado anteriormente, os operadores de opções têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line e muitas plataformas de negociação de hoje possuem ferramentas de análise de opções robustas, incluindo indicadores e planilhas que executam os cálculos e produzem os valores de preços das opções. Um exemplo de uma calculadora Black-Scholes online é mostrado na Figura 5, o usuário deve inserir todas as cinco variáveis ​​(preço de exercício, preço da ação, tempo (dias), volatilidade e taxa de juros livre de risco). Figura 5: Uma calculadora Black-Scholes on-line pode ser usada para obter valores para chamadas e puts. Os usuários devem digitar os campos obrigatórios ea calculadora faz o resto. Calculadora de cortesia tradingtodayThe Black e Scholes Modelo: O Black e Scholes Opção Modelo de precificação didnt aparecer durante a noite, de fato, Fisher Black começou a trabalhar para criar um modelo de avaliação para warrants ações. Este trabalho envolveu o cálculo de um derivativo para medir como a taxa de desconto de um warrant varia com o tempo eo preço das ações. O resultado deste cálculo teve uma semelhança impressionante com uma conhecida equação de transferência de calor. Logo após essa descoberta, Myron Scholes se juntou ao Black e o resultado de seu trabalho é um modelo de preços de opções surpreendentemente precisas. Black e Scholes não podem tomar todo o crédito para o seu trabalho, na verdade o seu modelo é realmente uma versão melhorada de um modelo anterior desenvolvido por A. James Boness em seu Ph. D. Dissertação na Universidade de Chicago. Black e Scholes melhorias no modelo Boness vêm na forma de uma prova de que a taxa de juros livre de risco é o fator de desconto correto e com a ausência de pressupostos sobre as preferências de risco dos investidores. Para entender o modelo em si, dividimos-lo em duas partes. A primeira parte, SN (d1), deriva o benefício esperado de adquirir um estoque outright. Isto é obtido pela multiplicação do preço das acções S pela alteração do prémio de compra em relação a uma alteração no preço das acções subjacentes N (d1). A segunda parte do modelo, Ke (-rt) N (d2), dá o valor presente de pagar o preço de exercício no dia de vencimento. O justo valor de mercado da opção de compra é então calculado tomando a diferença entre estas duas partes. A maioria das empresas paga dividendos aos seus detentores de ações, o que pode parecer uma séria limitação para o modelo, considerando a observação de que rendimentos de dividendos mais elevados provocam prêmios de chamada mais baixos. Uma maneira comum de ajustar o modelo para esta situação é subtrair o valor descontado de um dividendo futuro do preço da ação. 2) Termos de exercício europeus são usados ​​termos de exercício europeu ditar que a opção só pode ser exercida na data de vencimento. Termo de exercício americano permite que a opção seja exercida a qualquer momento durante a vida da opção, tornando as opções americanas mais valiosas devido à sua maior flexibilidade. Esta limitação não é uma preocupação importante porque muito poucas chamadas são exercidas nunca antes dos últimos dias de sua vida. Isso é verdade porque quando você exercer uma chamada cedo, você perderá o valor de tempo restante na chamada e coletar o valor intrínseco. Para o fim da vida de uma chamada, o valor de tempo restante é muito pequeno, mas o valor intrínseco é o mesmo. 3) Os mercados são eficientes Esta suposição sugere que as pessoas não podem prever consistentemente a direção do mercado ou um estoque individual. O mercado opera continuamente com os preços das ações seguindo um processo contínuo. Para entender o que é um processo contínuo, você deve primeiro saber que um processo de Markov é aquele em que a observação no período de tempo t depende apenas da observação precedente. Um processo é simplesmente um processo de Markov em tempo contínuo. Se você desenhasse um processo contínuo, faria isso sem pegar a caneta do pedaço de papel. 4) Nenhuma comissão é cobrada Normalmente os participantes do mercado têm de pagar uma comissão para comprar ou vender opções. Mesmo os comerciantes do assoalho pagam algum tipo da taxa, mas é geralmente muito pequeno. As taxas que os investidores individuais pagam são mais substanciais e muitas vezes podem distorcer a saída do modelo. 5) As taxas de juros permanecem constantes e conhecidas. O modelo Black e Scholes usa a taxa livre de risco para representar essa taxa constante e conhecida. Na realidade, não existe a taxa livre de risco, mas a taxa de desconto em Letras do Tesouro dos Estados Unidos com 30 dias até a maturidade é usualmente usada para representá-la. Durante períodos de taxas de juros em rápida mudança, essas taxas de 30 dias são muitas vezes sujeitas a alterações, violando, assim, uma das hipóteses do modelo. 6) Os retornos são lognormally distribuídos Esta suposição sugere, os retornos sobre o estoque subjacente são normalmente distribuídos, o que é razoável para a maioria dos ativos que oferecem opções.